迁至学习「求解」偏微分方程，条件偏移下PDE的深度迁至算子学习

受一般而言分界必需规范：

h(x)=0,∀x∈∂Ω,

其中会 K(x) 是异质多孔电磁辐射随空间推移的导水率，h(x) 是相应的沙湾。

本学术研究的最大限度是研读公式（1）中会系统设计的闭包，它将输入随机电导率场给定到驱动沙湾（hydraulic head）；即

。

为了降解多个电导率场来操练 DeepONet，将 K(x) 描绘出为一个随机全过程，其意味着是通过截断的 Karhunen–Loéve 展开降解的。乃是各种类型框是一个方锥形反之亦然 Ω = [0,1] ×[0,1]，离散化 d = 1541 个网格点。考量一般而言四种移往研读桥段：

TL1：将研读从自始方锥形反之亦然移往到等边三角锥形。

TL2：将研读从自始方锥形反之亦然重新分配到直角三角锥形。

TL3：将研读从自始方锥形反之亦然移往到带有侧向孔洞的等边三角锥形。

TL4：将研读从带有一个侧向孔洞的方锥形反之亦然移往到带有两个水平孔洞的方锥形反之亦然。

学术研究发现，最大限度 TL1 和 TL2 展示了该原先方法需要以高可靠性将知识从方锥形反之亦然重新分配到三角锥形反之亦然，即使在适用小型样品集展开操练时也是如此（见请注意 1）。为了的测试该原先方法在带有潜力的才会的效率，考量带有不连续性和孔洞的反之亦然（最大限度 TL3 和 TL4）。观察到 TL-DeepONet 可靠性受损失小于 5%，这说明了即使考量了更加相同的外部分界反之亦然，也可以用甚少的标示样品得出结论液压头。

请注意 1：所有安娜乃是原因的一般来说 L2 偏于差 (TL1–TL4)。（比如说：文章）

桥段二——柔性数学模型：考量承受对称内载荷作用的薄矩锥形筒，将其动态为对称应力柔性的二维原因。方面方程如下：

∇⋅σ+f(x)=0,x=(x,y) (2)

(u,v)=0,∀x=0，

其中会 σ 为庞加莱应力张量；f 是力；u(x) 和 v(x) 分别指出 x 和 y 位移；E 和 ν 分别亦然碳化的杨氏模量和泊松比。在对称应力必需下，应力与位移的关系定义为：

将施加到筒左边缘的查找必需 f(x) 动态为拉普拉斯随飞机场。这里的最大限度是研读从随机分界载荷到位移场的给定（u：x-位移和 v：y-位移），使得

。

因此，学术研究医护人员操练 DeepONet 长一职来得出结论两个相同的数学模型驱动。在这个例子中会，考量一般而言两个 TL 桥段：

TL5：将研读从带有中会心圆锥形之下分界和碳化属性（ES = 300 × 10请注意5, νS = 0.3）的反之亦然重新分配到左上方和左下角带有两个较小圆锥形之下分界和相同碳化属性（ET = 410 × 10请注意3, νT = 0.35)。

TL6：将研读从带有中会心圆锥形之下分界和碳化属性的反之亦然 (ES = 300 × 10请注意5, νS = 0.3) 移往到带有方锥形之下分界和相同碳化属性的反之亦然(ET = 410 × 10请注意3, νT = 0.45) 。

学术研究发现，所明确提出的 TL 基本允许多最大限度研读，即使乃是反之亦然和最大限度反之亦然存在自始因如此一个之外的差异。在柔性数学模型中会，这两个反之亦然带有相同的之下分界和相同的碳化属性。对最大限度样品集大小的学术研究说明了，左左 200 个样品足以各种类型 TL5 中会从乃是反之亦然到最大限度反之亦然的必需重新分配。

请注意 2：柔性移往研读原因 (TL5) 的一般来说 L2 偏于差和操练价格。（比如说：文章）

然而，在 TL6 中会，之下分界和数学模型反之亦然时有发生了很大程度的推移（从粗糙分界到非粗糙分界），TL-DeepONet 由于乃是数学模型无法捕获低层次网络服务中会的最大限度基本特征，加剧了一般来说较高的偏于差。

请注意 3：柔性移往研读原因 (TL6) 的一般来说 L2 偏于差和操练价格。（比如说：文章）

桥段三——Brusselator 扩散底物系统设计：最后，以 Brusselator 扩散底物系统设计为例，它描绘出了一种自合成化学推移，在该底物中会，底物液体与另一种液体相互作用以提高其生产率。Brusselator 体系的特点是:

其中会ki, (i =1,2,3,4) 是亦然底物流速无量纲的自始反之亦然。在公式 (4) 中会，底物物 A 在四种额外的液体 X、B、Y 和 D 的帮助下分四步转化为最终有机体 E。液体 A 和 B 大量酒精，因此可以在恒定pH下动态。二维流速方程如下:

受限一般而言初始必需：

其中会 x =(x, y) 是空间坐标；D0，D1 指出比值；a={A}，b = B 为无量纲pH；和 u = {X}, v ={Y} 指出底物哺乳动物类 X, Y 的pH。

在全过程系统设计工程中会——最大限度是设计、高度集中和冗余弹射器描绘出的化学科学和微生物全过程——移往研读可以为研读相同桥段下的系统设计声学（例如，相同数量的哺乳动物、热力学形式等）透过有用的手段。

在这个原因中会，学术研究医护人员操练 DeepONet 来研读初始场和哺乳动物 v 的进化pH错综复杂的给定，即

。

初始场 h2(x, y) 被动态为拉普拉斯随飞机场。考量一般而言两个移往研读原因：

TL7：将研读从阻尼振荡重新分配到过阻尼振荡（并能近似于稳态响应）。

TL8：将研读从阻尼振荡重新分配到周期性振荡（相空间中会的趋近反向）。

在 TL7 中会，部署了在粗糙声学上操练的乃是数学模型，引入近似于高度非粗糙声学。结果说明了，即使对于这种带有潜力的动态，该基本也乏善可陈良好。对于TL7，适用增量权重对最大限度反之亦然展开这两项，并引入最大限度反之亦然的重生受损失。

请注意 4：Brusselator 移往研读原因（TL7 和 TL8）的一般来说 L2 偏于差和操练价格。（比如说：文章）

总的来说，学术研究发现在彻底解决必需栖息于不反之亦然的 PDE 原因时，重新分配先前获的知识（即从数学模型的低层次研读的反之亦然保持稳定基本特征）和对网络服务的较高层次层展开冗余，可以意味着高效的多最大限度闭包研读。